这些FFT干货真的很受用！（一）
在信号分析与处理中，频谱分析是重要的工具。FFT可以将时域信号转换至频域，以获得信号的频率结构、幅度、相位等信息。该算法在理工科课程中都有介绍，众多的仪器或软件亦集成此功能。FFT实用且高效，相关原理与使用注意事项也值得好好学习。
01何为FFT
对于模拟信号的频谱分析，首先得使用ADC（模拟数字转换器）进行采样，转换为有限序列x（n），其非零值长度为N，经DFT（离散傅立叶变换）即可转化为频域。DFT变换式为：
在上式中，N点序列的DFT需要进行N2次复数乘法和N（N－1）次复数加法，运算量大。FFT是DFT的快速算法，利用DFT运算中的对称性与周期性，将长序列DFT分解为短序列DFT之和。最终运算量明显减少，使得FFT应用更加广泛。
1．1FFT基于的基本理论
FFT基于一个基本理论：任何连续的波形，都可以分解为不同频率的正弦波形的叠加。FFT将采样得到的原始信号，转化此信号所包含的正弦波信号的频率、幅度、相位，为信号分析提供一个创新视觉。
例如在日常生活中有使用到的AM（Amplitude Modulation，幅度调制）广播，其原理是将人的声音（频率约20Hz至20kHz，称为调制波）调制到500kHz～1500kHz正弦波上（称为载波）中 ，载波的幅度随调制波的幅度变化。声音经这样调制后，可以传播得更远。在AM的时域波形（波形电压随时间的变化曲线），载波与调制波特征不易体现，而在FFT后的幅频曲线中则一目了然。如下图为1000kHz载波、10kHz调制波的AM调制信号，时域信号经FFT后其频率能量出现在990kHz、1．01MHz频率处，符合理论计算。
图1 调制波10kHz、载波1000kHz的AM时域与频域曲线
02FFT相关知识
现实生活中的模拟信号，大多都是连续复杂的，其频谱分量十分丰富。正如在数学中常量π，其真实值是个无理数。当用3．14来替代π时，计算值与真实值就会有偏差。在使用FFT这个工具时，受限于采样时的频率Fs、采样点长度N、ADC的分辨率nbit等因素的制约，所得到的信息会有所缺失与混淆。
2．1奈奎斯特区与波形混叠
FFT分析结果中，存在一个那奈奎斯特区的概念，其宽度为采样率的一半Fs／2，信号频谱被分成一个个相连的奈奎斯特区。日常信号分析中，大多关心的是1st奈奎斯特区的信号，即DC到Fs／2的频段。FFT所得到的信号频率信息，也是在1st奈奎斯特区内。其他高奈奎斯特区频段的信号，会以不同的方式混叠到1st奈奎斯特区：
偶数奈奎斯特区会镜像后混叠到1st奈奎斯特区；
奇数奈奎斯特区会频移后混叠到1st奈奎斯特区。
如下图所示，假如原有模拟信号频谱段较宽，信号频段的最大频率大于采样率Fs。在采样率Fs下，信号频谱的A、B、C三部分区域，分别位于1st、2st、3st奈奎斯特区。那经FFT后：
A部分信号本来就在1st奈奎斯特区，保持不变；
B部分频谱会以Fs／2为镜像后混叠到1st奈奎斯特区；
C部分频谱频偏Fs后混叠到1st奈奎斯特区。
这样在FFT的分析结果中，1st奈奎斯特区就会重叠了A、B、C三部分区域的信号。其他奈奎斯特区频率信号干扰到需分析的信号，就会造成常说的波形混叠问题。
就单个频率信号而言，若原始信号的频率为｜±KFs ±Fin｜（K为自然数），则经过FFT分析后，信号会落入在1st奈奎斯特区的Fin频率处。
图2 奈奎斯特区投影与波形混叠
这在时域上理解不难：在常用设备示波器的采样率设为100MSa／s，这时输入10MHz、90MHz、110MHz频率的信号，采样得到的波形是一样的，都为10MHz。此时奈奎斯特区宽度为50MHz，信号90MHz位于2st奈奎斯特区，经Fs／s镜像后，为10MHz；信号110MHz位于3st奈奎斯特区，经频偏Fs后，亦为10MHz。在FFT后的数据中，这三个频率信号的频点都落在1st奈奎斯特区的10MHz处。
图3 波形混叠时的时域芯片
为了解决信号混叠问题，可以采取以下措施：
提高模数转换器ADC的采样率Fs
这相当把1st奈奎斯特区拉宽。当满足Fs／2大于信号频段的最大频率Fin＿max时，自然不会现混叠。这是采样定理的简单实践。
在模数转换器前串入抗混叠滤波器
抗混叠滤波器最常见的是低通滤波器，此滤波器可以将高于Fs／2的高阶奈奎斯特区频段信号衰减掉，只保留待测量1st奈奎斯特区频段的信号。
