霍尔效应的量子对应---量子霍尔效应，是凝聚态物理发展历史中里程碑式的重要量子现象。在前面讨论正常霍尔效应的基础上，如果外加磁场足够强、温度足够低，材料体内的所有电子都被局域化到了分立的朗道能级上，形成一个完全绝缘的状态。然而这时，材料的边界仍然可以导电，形成一些没有“背散射”的导电通道(也就是不受杂质散射影响的理想导体)，从而导致量子霍尔效应的出现。其中整数与分数量子霍尔效应分别于
1985年和1998年两度获得诺贝尔奖。量子霍尔效应之所以重要，在于它是一种全新的量子物态---拓扑有序态。凝聚态物质中的各种有序态的出现一般都伴随着某种对称性的破缺，同时伴随有局域序参数及其长程关联的出现。而在量子霍尔效应中不存在局域的序参量，对该物态的描述需要引入拓扑不变量的概念。对于量子霍尔效应而言，该拓扑不变量就是整数的Chern-number。
从2005年开始，人们逐步认识到除了量子霍尔效应以外，还存在着多种具有不同的拓扑性质的量子态。重要的是这些不同的拓扑量子态都可以在凝聚态物质中，通过材料设计而实现，使得广泛的实验研究成为可能。最近几年研究得比较多的是具有时间反演对称性的拓扑绝缘体，它可以通过Z2--不变量来刻画。典型的二维的Z2拓扑绝缘体是HgTe/CdTe量子阱，其中最直接的物理现象就是可以观察到量子自旋霍尔效应。对于三维的拓扑绝缘体而言，其材料实现并不是那么直接的。2009年，中科院物理研究所的方忠、戴希研究组，通过计算预言了一类三维的强拓扑绝缘体系统(Bi2Se3,
Bi2Te3, Sb2Te3)具有约0.3eV的体能隙，可以在室温下保存其拓扑性质【H.J.Zhang, et al., Nature Phys.,
(2009)】。后续的多个实验结果证实了该理论预言的正确性。