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标准曲线相关系数用什么表示

2021.8.08

相关系数是最早由统计学家卡尔·皮尔逊设计的统计指标,是研究变量之间线性相关程度的量,一般用字母 r 表示。

定义

相关关系是一种非确定性的关系,相关系数是研究变量之间线性相关程度的量。由于研究对象的不同,相关系数有如下几种定义方式。

简单相关系数:又叫相关系数或线性相关系数,一般用字母r 表示,用来度量两个变量间的线性关系。

定义式 [1] 

21a4462309f790528501669a00f3d7ca7bcbd573?x-bce-process%3Dimage%2Fresize%2Cm_lfit%2Cw_600%2Ch_800%2Climit_1%2Fquality%2Cq_85%2Fformat%2Cf_jpg

其中,Cov(X,Y)为X与Y的协方差,Var[X]为X的方差,Var[Y]为Y的方差

复相关系数:又叫多重相关系数。复相关是指因变量与多个自变量之间的相关关系。例如,某种商品的季节性需求量与其价格水平、职工收入水平等现象之间呈现复相关关系。

典型相关系数:是先对原来各组变量进行主成分分析,得到新的线性关系的综合指标,再通过综合指标之间的线性相关系数来研究原各组变量间相关关系。


性质

这里, 4e4a20a4462309f78c718cb67e0e0cf3d7cad673?x-bce-process%3Dimage%2Fresize%2Cm_lfit%2Cw_600%2Ch_800%2Climit_1%2Fquality%2Cq_85%2Fformat%2Cf_jpg , bf096b63f6246b60240993d0e7f81a4c510fa20a?x-bce-process%3Dimage%2Fresize%2Cm_lfit%2Cw_600%2Ch_800%2Climit_1%2Fquality%2Cq_85%2Fformat%2Cf_jpg 是一个可以表征 279759ee3d6d55fba7d8578261224f4a20a4dd73?x-bce-process%3Dimage%2Fresize%2Cm_lfit%2Cw_600%2Ch_800%2Climit_1%2Fquality%2Cq_85%2Fformat%2Cf_jpg 和 faf2b2119313b07e8cfa71ac00d7912396dd8cca?x-bce-process%3Dimage%2Fresize%2Cm_lfit%2Cw_600%2Ch_800%2Climit_1%2Fquality%2Cq_85%2Fformat%2Cf_jpg 之间线性关系紧密程度的量。它具有两个性质:

(1) 6a63f6246b600c33ae7eff6c164c510fd9f9a10a?x-bce-process%3Dimage%2Fresize%2Cm_lfit%2Cw_600%2Ch_800%2Climit_1%2Fquality%2Cq_85%2Fformat%2Cf_jpg

(2) 7aec54e736d12f2edb2a8fc443c2d56285356862?x-bce-process%3Dimage%2Fresize%2Cm_lfit%2Cw_600%2Ch_800%2Climit_1%2Fquality%2Cq_85%2Fformat%2Cf_jpg 的充要条件是,存在常数a,b,使得 14ce36d3d539b60001892e13e550352ac75cb7ca?x-bce-process%3Dimage%2Fresize%2Cm_lfit%2Cw_600%2Ch_800%2Climit_1%2Fquality%2Cq_85%2Fformat%2Cf_jpg

由性质衍生:

a. 相关系数定量地刻画了 X 和 Y的相关程度,即 aec379310a55b3193021a3d14fa98226cefc17bd?x-bce-process%3Dimage%2Fresize%2Cm_lfit%2Cw_600%2Ch_800%2Climit_1%2Fquality%2Cq_85%2Fformat%2Cf_jpg 越大,相关程度越大; 9922720e0cf3d7ca5af11ed2fe1fbe096b63a90a?x-bce-process%3Dimage%2Fresize%2Cm_lfit%2Cw_600%2Ch_800%2Climit_1%2Fquality%2Cq_85%2Fformat%2Cf_jpg 对应相关程度最低;

b. X 和Y 完全相关的含义是在概率为1的意义下存在线性关系,于是 0b46f21fbe096b63d01e7ff400338744ebf8ac0a?x-bce-process%3Dimage%2Fresize%2Cm_lfit%2Cw_600%2Ch_800%2Climit_1%2Fquality%2Cq_85%2Fformat%2Cf_jpg 是一个可以表征X 和Y 之间线性关系紧密程度的量。当 11385343fbf2b211d769a4eac68065380dd78eca?x-bce-process%3Dimage%2Fresize%2Cm_lfit%2Cw_600%2Ch_800%2Climit_1%2Fquality%2Cq_85%2Fformat%2Cf_jpg 较大时,通常说X 和Y相关程度较好;当 3b87e950352ac65c504247d7f7f2b21192138aca?x-bce-process%3Dimage%2Fresize%2Cm_lfit%2Cw_600%2Ch_800%2Climit_1%2Fquality%2Cq_85%2Fformat%2Cf_jpg 较小时,通常说X 和Y相关程度较差;当X和Y不相关,通常认为X和Y之间不存在线性关系,但并不能排除X和Y之间可能存在其他关系。 [2] 


不相关和独立

若X和Y不相关, 342ac65c10385343b988a6859f13b07ecb8088ca?x-bce-process%3Dimage%2Fresize%2Cm_lfit%2Cw_600%2Ch_800%2Climit_1%2Fquality%2Cq_85%2Fformat%2Cf_jpg ,通常认为X和Y之间不存在线性关系,但并不能排除X和Y之间可能存在其他关系;若 472309f7905298226c2d1867dbca7bcb0a46d473?x-bce-process%3Dimage%2Fresize%2Cm_lfit%2Cw_600%2Ch_800%2Climit_1%2Fquality%2Cq_85%2Fformat%2Cf_jpg ,则X和Y不相关。

若X和Y独立,则必有 55e736d12f2eb938f8425b56d9628535e5dd6f62?x-bce-process%3Dimage%2Fresize%2Cm_lfit%2Cw_600%2Ch_800%2Climit_1%2Fquality%2Cq_85%2Fformat%2Cf_jpg ,因而X和Y不相关;若X和Y不相关,则仅仅是不存在线性关系,可能存在其他关系,如 5243fbf2b2119313f504de1469380cd790238dca?x-bce-process%3Dimage%2Fresize%2Cm_lfit%2Cw_600%2Ch_800%2Climit_1%2Fquality%2Cq_85%2Fformat%2Cf_jpg ,X和Y不独立。

因此,“不相关”是一个比“独立”要弱的概念。 [2] 


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