电子天平该如何选择合适的砝码
电子天平该如何选择合适的砝码
[砝码称重问题]给定一架天平，要求用m个砝码称出1~n克范围内的所有物品的重量，问应该如何选择砝码
定理： 由m个数构成的由小到大排列的数列{a（1）,a（2）,...a（m）}，设A（k）=∑
a（i）， 其中i从1到k， 则
a（1） = 1且a（j+1） <= 2A（j） +1， j取1,2,..,m-1 （1式）
是该数列作为砝码序列可称量{0,1,..,Am}范围内的任意整数重量的充要条件。特
别的，上式取等号时，
该序列是*可能的砝码序列，并且有a（j） = 3^（j-1）， 对于j=1,2,..,m
推论： 重量为n的物体要分成m份重量为整数的物体的序列{a（1）,a（2）,..a（m）}，
设M=∑3^（i-1），其中i
从1到m，则有三种情况：
1） M<n， 无解；
2） M=n，有*的解 a（j）=3^（j-1）, j=1,2,..m;
3） M>n，可能有多组解，解为满足（1式）并且∑a（i）=n,其中i从1到m，的所有整
数序列。
砝码定理的证明：
（充分性）
用数归法：
当i=1的时候，a（i）=1显然成立；
假设i=k的时候定理充分性成立，即用满足（1）式的前k个砝码可以称量的重量
W（k）为满足0<=W（k）<=A（k）
的所有整数，则i=k+1时，应可以称量W（k+1）,应为0<=W（k+1）<=A（k+1）范围内的所
有整数。分段讨论如下：
（a）对于0<=W（k+1）<=A（k），显然可以由前k个砝码称量；
（b）对于A（k）<W（k+1）<=a（k+1）， 由假设0<=W（k）<=A（k）， 交换左右盘的砝码，可
以产生配合砝码a（k+1）
使用的负砝码为W（k）' 可以是满足-A（k）<=W（k）'<=0的所有整数。与大砝码a（k+1）
一起使用可以得到a
（k+1）+W（k）' ，一定可以称量某段连续范围的所有整数，因为a（k+1） <=2A（k）+1，
所以a（k+1）-A（k） <=
A（k）+1， 因此a（k+1）+W（k）'产生的下限为a（k+1）-A（k），上限为a（k+1）,所以可以
称量A（k）<W（k+1）<=a
（k+1）内的所有W（k+1）；
（c）对于a（k+1）<=W（k+1）<=A（k+1），与（b）同理可以得到称量的上下限分别为：
a（k+1）+A（k） = A（k+1）和a
（k+1）；
因此当i=k+1的时候定理充分性也成立，由数归法知定理充分性成立。
（必要性）
i=1时，显然必须有总量为1的砝码；
i>1时，反证之，如果存在某个K，使得（1）不成立，即2A（k）+1<a（k+1），则重量
A（k）+1既不能用前面的
k-1个砝码称重，又因为a（k+1）-A（k）>A（k）+1而不能用a（k+1）配合着称重。所以矛
盾，因此必要性成立。
推论也可以用数归法简单的证明，这里我就不证了，打字太累了：）
根据以上的定理和推论，可以很容易的求出对于重量为任意的n的物体，用m个砝码
可以称出来的砝码的方
案。当n=∑3^（i-1）， i从1到m的时候，有*解a（i）=3^（i-1），可以改写成
a（i）=2（∑aj）+1，其中j从1
到i-1，一个循环就直接输出了；当n>∑3^（i-1）的时候无解；当n<∑3^（i-1）的时
候只要根据式（1）并保
证∑a（i）=n搜索就可以了。可以递归的搜索求解。具体我就不写程序了。
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