矩阵基本知识(化学计量学必备)一

矩阵方法的问世，为描述冗长复杂的计算提供了一种简明的方法。矩阵运算的标准程序适用于所有的计算机。化学测量数据不论一维，二维还是三维，均可表示成矩阵。矩阵的有关运算不仅是化学计量学工作这不掌握矩阵代数的有关知识，就不可能掌握各种化学计量学方法的内涵和实质。附录A对基础化学计量学中常用到的矩阵基本知识作简要介绍，以使读者节约更多的时间学习化学计量学的主要内容。

数据排列成矩阵形的阵列叫矩阵。这些数据称作矩阵的元素。元素的形式是多种多样的，它可以是实数、复数、代数表达式，也可以是矩阵本身或矩阵表达式。矩阵的运算只涉及具有数值形式的矩阵。

第一节 矩阵的简单运算

一、 加法和数乘

当2个矩阵具有同样的阶数时(行和列相等)可以相加。设：

A=(aij)和B=(bij) (i=1,2,3,……n;j=1,2,3,……m)

则矩阵加法为：

C=A+B=(aij+bij)

若用一个常数k去乘，即数乘矩阵，有:

C=kA=(kaij)

例如设：

A= 和B= ， (A-1)

则有：

C=A+B= =

和：

D=3B=

二、 矩阵乘法

如果第1个矩阵的列数等于第2个矩阵的行数，则这2个矩阵可以相乘。设A为n×m阶矩阵，B为m×p阶矩阵，则矩阵A与B的点积C为阶矩阵。有乘法:

C=An×mBm×p=(cij)=

例如设：

A= 和B= ，

则：C=AB= =

其中：c31=(3×1+2×1+4×1+6×1+0×1)=15

一般AB不等于BA。因此，相乘的次序不能颠倒。即使能够相乘，结果一般也不相等。

三、 矩阵的转置和对称性

一个矩阵的转置矩阵由对换原矩阵的行和列而得。即第i行变成i列，第i列变成i行。转置矩阵记为AT。例如矩阵式(A-1)中A的转置矩阵是及B的转置矩阵BT:

AT= 和BT=

若一个方阵(行和列相等的矩阵)对所有的i和j，都有aij=-aji，则称该方阵为对称矩阵，说该方阵关于主对角线对称，对称矩阵的转置是它转置矩本身。即AT=A。

若矩阵A中，aij=-aji，且主对角线元素aii=0，就称它是反对称矩阵，因此AT=-A。

任何方阵都可以分解为一个对称矩阵和一个反对称矩阵之和。即：

A= (A+AT)+ (A-AT),

其中第一项是对称的，第二项是反对称的。

四、 某些特殊矩阵

行矩阵与列矩阵 只有一行或一列的矩阵，又称行矢量或列矢量。

零矩阵 矩阵中各元素都为0的矩阵。

对角矩阵 一个方阵的非零元素只出现在主对角线上，即i≠j时，aij=0。对角矩阵的重要性质是它能应用于对行或列进行变换。用一个可相乘的对角阵左乘一个矩阵时，其结果就是用对角矩阵中的相应元素去乘该阵的每一行。同理，用一个对角阵右乘一个矩阵时，其结果就是用对角阵中的相应元素去乘该阵的每一列。

单位矩阵 主对角元素为1，其它元素为零的矩阵。常记为I。且有：

AI=IA=A

三角矩阵 对角元以下元素为0的矩阵称上三角矩阵;对角元以上的元素为0的矩阵称下三角矩阵。

五、 矩阵的逆

记方阵A的逆为A-1。其意义为AA-1=I，变换该式：

AA-1A=IA=AI，

故有：

A-1A=I

方程组的解可用矩阵逆表示。当AX=B时，AA-1X=A-1B，故有X=A-1B。

矩阵求逆通常采用削去法。

应当指出的是，矩阵求逆是一个有用的代数概念，而不应该认为它有助于数值计算。求逆解方程组的过程比直接求解原方程要花费更多的计算量。除非特别需要逆矩阵或计算效率无关紧要时，应力求避免矩阵的求逆计算。

六、 矩阵表达式的转置和求逆

矩阵转置和逆具有有如下性质：

(1)(AT)T=A;(A-1)-1=A;(A-1)T=(AT)-1;

(2)若D=ABC，则DT=CTBTAT(矩阵转置反向规则);

(3)若D=ABC，则D-1=C-1B-1A-1(矩阵求逆反向规则);

(4)推论：C=ATA总是对称的。证明：CT=(ATA)T=ATA=C;

(5)若B是对称的，则C=ATBA也是对称的;

(6)对称矩阵的逆也是对称的。

七、 矩阵的秩

构成一个矩阵的线性无关的矢量数目称为它的秩。例如矩阵：

(A-2)

有以下关系：(第3行)=-(第1行)-2×(第2行);

同样也有：

(第3列)=(第1列)-0.25×(第2列);

(第4列)=-(第1列)+0.75×(第2列)。

显然，无论是从行还是从列看，它都是只有2个线性无关的矢量。或者说矩阵中只有两行或两列是独立的，另一列(行)总可以用其他两列(行)线性表示。故矩阵的秩等于2。

2个矩阵的乘积矩阵的秩必定小于或等于其中任意一个矩阵的秩。例如：

=

以及：

=

推论 若矩阵秩为R，则其任何矩阵因子的维数必定大于等于R。例如矩阵(A-2)可以分解为：

=

但不能分解为一个3×1和一个1×4的矩阵的积。

子式定义为从矩阵中取出相同数目的行和列得到的行列式。从(A-2)矩阵中的第2，3行和第2，4列取得的子式为：

=-4

如果一个矩阵的秩为R，则至少有一个R阶非0子式，而任何大于R阶的子式的值为0。因为舍入误差往往会搅乱用数值方法对秩的研究，所以依据实际问题的物理性质来确定矩阵的秩是很重要的。

矩阵的秩在化学计量学中是一个很有用的概念。往往根据对秩的研究，以及对化学测量误差与计算误差的考虑来考察分析测量数据，从而确定分析体系的组分数等信息。