中国古代的“人生几何学”

　　前面说数学，主要是西方的东西;今天说咱们自己的数学。辛弃疾有句词，“天下兴亡多少事”，记下了当时学生的课程：历史、代数、几何。可见，我们很早就有经典的数学课程了。而我们的几何，除了早毕达哥拉斯500年的勾股定理，还有更具文化特色也更古老的“人生几何”。

　　“人生几何”是古人习以为常的学问，曹孟德横槊赋诗都不忘了唱它：“对酒当歌，人生几何”——可后来的文史家们不懂数学，误会了“几何”一词，所以千多年来一直在错解那句诗。正确的解读是：“我们喝酒之前，应该先歌唱人生的几何学。”直到明代，徐光启先生才发现了它的意义，和利玛窦一起将欧几里德的Element(前六卷)译成“几何”。遗憾的是，李约瑟前辈在他的洋洋大观的《中国科学技术史》里，竟然忽略了这一点。

　　现在考察这个古老几何的若干基本概念。虽然材料有点儿零乱，但基本思想还是明确的，其中有些思想，足令今天的我们感到惊讶。

　　首先，定义“人”为几何的“点”——这是当然的。然后，我们考虑它的拓扑，也就是“点集”的性质。

　　“人皆有兄弟”，“四海之内皆兄弟也”(《论语•颜渊》)，即每个点都有邻域，每个邻域都是开集。这是平凡的拓扑。

　　进一步的结构，《周易》说：“方以类聚，物以群分”(《系辞上》)，《礼记》说得更明白：“方以类聚，物以群分，则性命不同矣。”(《乐记》)再后来，演绎出一句俗语：“人以群分”。意思是，以“群”的方法来区分不同类型的人。可见，古人已经有了“群”的概念，还懂得了商空间的构造。更重要的是，他们似乎还隐约产生了“同伦群”的概念。

　　我们知道，在一个“群”里，每个元素都能找到它的“逆元”。也就是说，一个人和他的敌人，应该属于同一群——这就与“气味相投”的“一丘之貉”式的小团体有着本质的区别。孔夫子说，“益者三友，损者三友”，不论益友还是损友，都要团结在一起，正体现了这种“群分”思想。

　　孔夫子还说：“君子周而不比，小人比而不周”;“君子和而不同，小人同而不和”。这些话意味着君子与小人的集合有着不同的拓扑结构。这一点，值得进一步研究。

　　另一个基本问题是空间的度量，即两点之间的距离。我没在古典文献里看到关于距离的定义，我们古人不太重视量的研究，这点儿缺失似乎不足为奇。倒是一个丹麦艺术家Victor Borge(他是“伟大的丹麦人”，也是“丹麦的小丑王子”，既是演员也是钢琴家)定义了一个度量：“笑是两个人之间的最短距离。”我以为，这个距离恰好描述了我们的人生几何。

　　根据物理学法则，一切事物都沿测地线(即最短距离的曲线)运动，Borge的定义告诉我们，在人生的道路上应该充满欢笑。我们今天考察“人生几何”，意义正在于此。