分享：原子中的电子，到底是怎么运动的呢？

这个问题，在海森堡年轻的时候，有一个错误的答案，那就是英国的物理学家卢瑟福提出的太阳系模型，认为原子中的电子，好象太阳系中的行星一样，是绕着原子 核做圆周运动的。所以，在卢瑟福提供的原子漫画中，原子就好象一个小太阳系，温暖而和谐。实际上却不是，以后我们会发现，原子世界是一个充满鬼魅的黑暗世 界。

那时候,海森堡年少春衫薄，他才24岁，不会轻易去动摇卢瑟福奠定的原子物理学的根基，但海森堡做物理有自己的风格，他的风格模糊但 是深邃，同时充满了常识，这些用常识做学问的人，永远值得尊敬。海森堡问一个简单的问题：“原子中，电子的轨道是可以测量出来的吗？是可以观测的吗？”

很 好的问题！
一针见血地让那些学究们不寒而栗。

海森堡知道，原子中，电子的圆周轨道是不可观测的，无论你用什么光学仪器，即使到现 在，你都不太可能看到电子的轨道，至于为什么，是因为电子的波长很短，比可见光波长要短好几个数量级，所以，光照上去以后，就好象一个一只大象踩在蚂蚁 上，蚂蚁很容易从大象的脚趾缝隙里溜走了。

既然如此，电子的圆周轨道是看不到的，那这里面就是一个鬼打架的事情了。海森堡不相信电子的轨 道是一个圆周，他只相信他亲眼看见的东西：光的强度，光的波长。

于是，海森堡想把看不见的电子的轨道，而看得见的光谱的强度和波长，通过 一套怪异的手法联系起来。

这套怪异的手法，就是海森堡独创的“变型的傅里叶展开法”。其实是拿看得见的光谱(注意光谱的频率可不是电子的 运动频率)，把看不见的电子轨道从数学上做了变型的傅里叶展开。通俗一点讲，海森堡通过光栅去看电子的轨道的，却看到了另外一个怪物——矩阵。

当 时在江湖上所传说的电子的圆周运动的轨道,是一个经典物理里的概念,姑且假装认为它是对的,那么,电子的坐标在一个方向上的投影是一个关于时间的正弦函 数,这个正弦函数中最关键的特征数值就是电子做经典圆周运动的频率----如果大家还记得高中物理的向心力公式,就可以计算出这个频率来.海森堡把这个正 弦函数用原子发出的光谱的频率做了变型的傅里叶展开——但是，原子的光谱的频率是一系列离散的数值——在任何分光光度计上都可以看到，矩阵就埋伏在这里。

      

如上图所表示的那样，如果原子有5个能级的话，那么，它发出的光谱会占据上面那个5乘5的矩阵的上三角 部分（不包含对角线）----这就好象北京到杭州往返的火车要路过5个车站，那么在任何2站上车和下车的人数就可以排成以上的矩阵，其中纵向表示上车的车 站，横向表示下车的车站。在物理上，这样的每一个矩阵的元（写着数字的方格）就表示一个光谱的波长（也就是频率，因为波长和频率是倒数关系）。

所 以， 一个电子轨道，就可以被那些不同的矩阵元所对应的光谱频率所叠加出来（这个是海森堡的创意！），就好象火车的每天的赢利收益可以用刚才那些上车下车的人数 来统计出来一样。

海森堡当时写出他的矩阵的时候,他其实还有一个老师，就是丹麦哥本哈根的 玻尔。玻尔在当地搞了一个研究所，生意非常红火，门庭若市。因为玻尔是一个忠厚长者，总是给年轻人很多关怀，所以，他的麾下，已经造就一个军团，战斗力极 强。

玻尔年轻的时候，那大约是在1911年附近，也就是辛亥革命的时代，中国人还没有人搞量子力学，他解决了氢原子的能级问题。玻尔的思 路是非常自然的，不会让任何人觉得吃惊。这个思路的核心就是所谓“对应原理”——其实就是一个自己发明的原理，目的是为了解释自然现象。这个原理成为海森 堡后来最厉害的思想武器。实际上，对后来者来说，对应原理是一个真正的物理方法，换句话说——这是物理学家做事情的一般方法，浑然天成，不施粉黛。
在 玻尔的原子模型里，电子还是按照卢瑟福的模型在不同的轨道上运动，但这些轨道可以用自然数n来标记。读者们一定要注意了，其实轨道是不存在的，但物理学家 不可能先验地知道轨道不存在，所以，玻尔的思路是非常完整的。在经典力学里就可以知道，不同轨道的能量不一样，可以把第n个轨道的能量记为E（n）。 因为n是一个整数，所以E（n）是一个未知的数论函数。 玻尔认为，电子可以在不同的轨道之间相互跳跃。这被称为跃迁——类似于股票市场中的那种跳跃，比如，今天的上证指数到了收盘的时候已经有了一条轨道，收盘 在2890点，那么，明天早上开盘不一定是在2890点，有可能跳空低开，比如在2820点开盘。
从能量高的轨道跳到能量低的轨道，类似于股票市 场里的市值要蒸发，电子的能量肯定要释放出来，这就满足如下的能量守恒方程——光谱学上，早已经发现这个经验规律，美其名曰“里兹组合规律”:

   E（n+m）-E（n）=hν(m,n)
这是一个函数方程，类似与F（n）+F（n+1）=F（n+2）这样的被称为菲波那切数列的函数方 程。菲波那切数列的函数方程的目标是求出F（n）的表达式。同样道理，玻尔要求出E（n）的表达式——这个表达式整数与n有关系，具有能量量纲。
    E（n+m）-E（n）=hν(m,n)   这个方程的左边是2个能级之间的能量差，而右边是放出光子的能量。这个方程可以解释世界上所有的线光谱，所以，求解它显得尤为重要。

   这个方程的右边是可以观测的，就是光的频率（波长可以通过单色器测定，频率是波长的倒数）。但左边是不能观测的原子的能级。求解的关键自然在于确定右边 的函数形式。
这个时候，对于频率ν(m,n)的表达式，正如大家在分光光度计上看到，频率的间隔是非常不规则的，也不是均匀分布的，所以这类似于 素数在整数集里的出现，仿佛是一个随机的现象。因此，面对这个深重的困难，玻尔他使用了如下的假设，自诩为对应原理：当n很大同时m很小的时 候，ν(m,n)作为放出光子的频率等于电子在圆周轨道上运动的圆周运动频率的m倍。

    高中学生都知道，一个电子做圆周运动的时候，它的角频率是圆周运动的速度和半径之比。
为了计算方便，可以取m=1，那么我们可以得到 E（n+1）-E（n）=hν(1,n)
对应原理说的是如下一个极限成立：lim（n趋向无穷大）E（n+1）-E（n）=hν(1,n)=hν
其 中ν是经典圆轨道的频率，这个频率是和能量E的3/2次方成正比的（高中物理）。
所以，我们有如下表达式：lim（n趋向无穷 大）E（n+1）-E（n）=C E（n）^{3/2}
其中C是比例系数，是常数。这个是一个差分方程，也可以写成微分方程的样子，也就是说 E（n）对n的导数正比于E（n）的3/2次方，可以推出，E（n）正比与n的-2次方。这样就解出了氢原子的能级表达式。

对应原理解出 的氢原子的能级非常符合观测到的光谱数据，所以，这个原理成为思想的利器----可惜对别的元素情况不会那么简单。玻尔在这个时候成为一个真正的物理学大 师。真正的物理学大师不需要太多的数学，只需要在非常恰当的时候做出一些恰如其分的物理假设。在这个故事里， 玻尔为了解出一个函数方程做了一个当n无穷大情景下的渐近假设，这个假设看起来也是非常合理的，因为他只不过要求一个量子系统在量子数很大的时候非常接近 与经典系统——也就是把光谱频率和电子的轨道频率认同起来。对应原理把量子力学拉回到经典力学，这是必须的，因为量子力学在某种意义上是一门画鬼的学问， 但最后必须要能回到人的世界里。