第二节 特征值和特征矢量
一、 矩阵的特征值
若矩阵右乘1个矢量后得到的新矢量恰好与原矢量成比例，则称该比例常数为这个矩阵的1个特征值，称该矢量为对应于这个特征值的特征矢量。例如有矩阵A
A=
具有性质：
=4×
表明矩阵A有1个特征值为4，相应特征矢量为(2 1 0)T。
矩阵A的特征值 和对应的右特征矢量q的代数方程是：
A·q= ·q,
该方程是可相乘的，所以A必定是方阵，因此只有方阵才有特征值。
当A是n阶方阵时，上述方程的一般形式为：
(A- ·I)·q=0
任何非平凡解(q=0为平凡解)都必须满足：
=0
此特征方程有一般形式：
据此求解特征值的方法并不是一个好方法。
特征值具有下列性质：
(1) 特征方程可以分解因式为：
(A-3)
即n阶矩阵有n个(可相等也可不相等)特征值。
(2) 矩阵对角元素之和称叫该矩阵的迹(trace),记作tr(A)：
tr(A)= ，
即矩阵特征值的和等于该矩阵的迹。
(3) ，
即矩阵特征值的乘积等于该矩阵行列式的值。如果矩阵是奇矩阵，则矩阵中至少有一个特征值为0。
(4) 矩阵行列式的值与它的转置矩阵的行列式值相等，因而转置矩阵有相同的特征值。
(5) 一个实矩阵得到的特征方程必定有实系数。因此实矩阵的特征值必定是实数或是共轭复数。
(6) 实对称矩阵A的所有特征值都必定是实数。这也就是说可用实数形式写出其特征矢量。
(7) 三角矩阵的行列式值是其对角元素的乘积。如果A是三角阵，则：
与式(A-3)比较可见，三角矩阵的特征值(对角矩阵也同样)等于其对角元素。
(8) 如果矩阵的行及对应的列之间同时交换，则其特征值保持不变。
(9) 如果矩阵某行乘以f且对应列乘以1/f，则矩阵的特征值不变。
二、 矩阵的特征矢量
除亏损矩阵(矩阵有2个或更多个相等的特征值只对应一个左或右特征矢量)外，矩阵的每个特征值都独立对应一个满足方程：A·q= ·q的右特征矢量。可用消去法求解每一个特征矢量。例如上述方程式中 =1时的右特征矢量求解如下：
=
化为上三角矩阵后，得：q1=q2=2q3。由于方程 ，奇异，方程有无穷多组解，又右端项为0，齐次，必定有解。故任何一个矢量q满足A·q= ·q时，则该矢量的某个倍数也一定满足。
求解一个高阶非对称满秩矩阵的每个特征矢量大约需n3/3次乘法，计算量很大。
可以把全部特征值及对应的右特征矢量组合成一个标准特征值方程：
A(q1 q2 … qn)= (q1 q2 … qn) ，
即AQ=QA。同理，也有左特征矢量。
A和AT具有同样的特征矢量。对于每一个与A的某一个特征矢量对应的特征值也都有AT的一个特征矢量p,使得：
ATp= ·p
转置该方程。特征矢量p可看作是A的一个左特征矢量：
pTA= ·pT
矩阵方程式A·q= ·q,的全部特征值解列于表A-1中。
表A-1 特征值和左右特征矢量
左特征矢量 特征值 右特征矢量
(7 –10 6)T 4 (2 1 0)T
(-1 2 -1)T 1 (2 2 1)T
(1 –2 2)T -8 (-2 1 4)T
对称矩阵的转置仍是它自身。左右特征矢量相同，不必加以区分。表A-2为一例，其特征矢量一已数乘，使最大元素之值为1。
表A-2 对称矩阵的特征值和特征矢量
矩阵 特征值 右特征矢量
92-1 (1 1 1)T(1 –1 0)T(-0.5 –0.5 1)T
三、 对称矩阵特征矢量的正交性条件
设qi和qj是某一对称矩阵A的特征矢量，对应于不同的特征值 和 ，则
和
转置第2个方程： 。经简单变换后有：
和 ，
因为 ，因此2个方程能相容的唯一可能是： 。其中 ，称为特征矢量的正交性条件。
如果把每个特征矢量都乘以适当倍数使下式成立：
。
先不考虑有相同特征值的可能性，正交条件组合成：
用Q表示特征矢量的集合，即Q= ,则有：
QTQ=I=QQT。
任何满足该方程的实矩阵Q称正交矩阵。
正交矩阵具有重要性质：Q-1=QT。因此，Q不是奇异的。
任何矢量都可以表示成一个对称矩阵的特征矢量的线性组合：
，
即：
X=QC 故 C=QTX。
由正交条件可知：
AQ=QA (QTQ=I)，
A=QAQT