原子模型的发展下：玻尔模型的缺陷与薛定谔
1912 年，尼尔斯・玻尔提出了一个原子模型，其中电子绕原子核运动，就像太阳系中的行星绕太阳运动一样。但两者不同的是，玻尔提出电子只能占据与普朗克常数成比例的某些能级，他把这些能级称之为原子轨道。换句话说，这些轨道中电子的能量被量子化了。当电子从较高的轨道转移到较低的轨道时，它们以光子的形式释放能量；当它们从较低的轨道移动到较高的轨道时，它们会吸收能量。玻尔的原始方程如下图，他的方程指出，能量取决于量子数 n，也就是电子所在的轨道。
该模型解决了经典物理中的几个问题，并有助于我们目前对量子力学的理解。但它未能精确再现原子发出光的实验结果，它只是根据主轨道来预测原子的结构，没有考虑到电子的自旋或相对论效应。也就是说，原子存在更精细的结构，它具有亚轨道。
薛定谔认为，根据量子力学，电子不会像行星一样被限制在轨道上，它是一种物质波，在 3D 空间中形成分布在原子核周围的概率云。薛定谔方程描述了这种行为的规则，并且超越了玻尔的原子模型，更精确地描述了自然界中存在的每一个原子的结构。
薛定谔方程表明，每个电子壳层都有它可以容纳的最大电子数。最内层最多容纳 2 个电子，第二层最多容纳 8 个电子，接下来是 18、32、50，以此类推。所以现在需要解释的是为什么这些数字如此特别？为什么原子间的相互作用要遵循这些数字呢？这一切都要归结于能量。
宇宙中的系统总是趋向于它们的最低能量状态。为了最大限度地减少能量，电子总是从内层开始填充并向外移动。可以证明，壳层是满的或者空的都会使原子的能量最小化。为了了解其中的原因，我们必须求解薛定谔方程。虽然这个方程看起来挺吓人的，但它本质上只是能量守恒的表达。简单来说，就是总能量等于动能加势能。
使用氢原子最容易解出这个方程，因为它是最简单的原子，只有一个电子绕一个质子旋转。因为核是由一个质子组成的，所以它是球对称的。这种球对称性可以使解足够简单，这对于精确求解薛定谔方程至关重要。尽管我们使用最简单的模型，但为了求得氢原子的波函数，还需要耗费大量的时间和纸张进行推导，最后得出了这个公式。
在这个波函数中，我们主要关注三个参数：n、l 和 m。n 代表的是电子壳层，n=1 是基态，也就是氢的最低能量状态。但氢并不总是处于最低能态，所以它可以有其他的值。l 是壳层角动量的量子数。m 是指定壳层空间方向的数字。当我们在方程中代入不同数值的 nlm 时，它也近似地代表了任何其他原子的所有电子量子态的解。所以这个方程可以让我们预测元素周期表中所有元素的电子行为。
现在，我们要说明这三个数的取值范围。首先，它们都必须是整数。由于 n 代表电子壳层，所以它必须从 1 开始取值；而 l 的取值范围是 0 到 n-1 之间的整数；m 的取值范围是-l 到 + l 之间的整数。例如 n=1，则 l=0 和 m=0；n=2，则 l=0 或 1，m=-1、0 或 1。
于是，当 n=1 时，(n,l,m) 有 1 种可能的构型；当 n=2 时，(n,l,m) 有 4 种可能的构型；当 n=3 时，(n,l,m) 有 9 种可能的构型，以此类推。别忘了，电子是费米子，它的自旋为 1/2，方向可以是向上也可以是向下，因此我们要将这些构型乘以 2，也就是我们上述提到的 2、8、18、32……
只求解氢原子的薛定谔方程，可以让我们应用到元素周期表的所有元素。但是，这并不是完全准确的，对于较大的原子来说会有一些小变化，壳层的占用方式可能会略微不同。
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