正态分布的分布曲线
图形特征
集中性：正态曲线的高峰位于正中央，即均数所在的位置。
对称性：正态曲线以均数为中心，左右对称，曲线两端永远不与横轴相交。
均匀变动性：正态曲线由均数所在处开始，分别向左右两侧逐渐均匀下降。
曲线与横轴间的面积总等于1，相当于概率密度函数的函数从正无穷到负无穷积分的概率为1。即频率的总和为100%。
关于μ对称，并在μ处取最大值，在正（负）无穷远处取值为0，在μ±σ处有拐点，形状呈现中间高两边低，正态分布的概率密度函数曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。
参数含义
正态分布有两个参数，即期望（均数）μ和标准差σ，σ2为方差。
正态分布具有两个参数μ和σ^2的连续型随机变量的分布，第一参数μ是服从正态分布的随机变量的均值，第二个参数σ^2是此随机变量的方差，所以正态分布记作N（μ,σ2）。
μ是正态分布的位置参数，描述正态分布的集中趋势位置。概率规律为取与μ邻近的值的概率大，而取离μ越远的值的概率越小。正态分布以X=μ为对称轴，左右完全对称。正态分布的期望、均数、中位数、众数相同，均等于μ。
σ描述正态分布资料数据分布的离散程度，σ越大，数据分布越分散，σ越小，数据分布越集中。也称为是正态分布的形状参数，σ越大，曲线越扁平，反之，σ越小，曲线越瘦高。
面积分布
正态函数的不定积分是一个非初等函数，称为误差函数。
实际上误差函数的导数是：
将正态函数换元，误差函数和“正态函数的积分”的关系是：
1、实际工作中，正态曲线下横轴上一定区间的面积（误差函数上下限之差）反映该区间的例数占总例数的百分比，或变量值落在该区间的概率（概率分布）。
2、正态曲线下，要取到50%概率，横轴半区间长度为0.67448975σ（该值无法用初等方法求解，是由迭代法取得的近似值。）
横轴区间（μ-σ,μ+σ）内的面积为68.268949%。
横轴区间（μ-2σ,μ+2σ）内的面积为95.449974%。
横轴区间（μ-3σ,μ+3σ）内的面积为99.730020%。
“小概率事件”和假设检验的基本思想： “小概率事件”通常指发生的概率小于5%的事件，认为在一次试验中该事件是几乎不可能发生的。由此可见X落在（μ-3σ,μ+3σ）以外的概率小于千分之三，在实际问题中常认为相应的事件不会发生，基本上可以把区间（μ-3σ,μ+3σ）看作是随机变量X实际可能的取值区间，这称之为正态分布的“3σ”原则。而对于产量更大，试验次数更多的大规模流水线产品，要达到“万无一失”（99.99%）就要取到4σ（99.9936%），而要达到更高的水平，则需要取5σ~6σ长度的半区间，此时误差大约是0.6ppm~0.002ppm，这是工业生产中提出的“六西格玛（6σ）”原则（管理学书籍中提及的六西格玛原则的要求是3.4ppm，这个概率值所对的分布大约在半区间长度4.5σ，这是考虑到系统误差造成的均值偏移μ=1.5σ的情况）。
