仪器和测量技术中的DSP（二）
关于小波分析
我们注意到上述所有这些变换或分析，其对象都是平稳信号甚或周期信号。以傅立叶分析来说，它的原始出发点是傅立叶级数，其数学定义表示，任一非正弦周期函数（信号）可以分解为元穷多个频率为其基本频率整倍数的正弦波（及一直流分量）之和。而对于傅立叶变换的积分，则是将其积分周期拓展至无穷形成的。实际上，频率这一概念正是傅立叶在此工作中提出来的。而且这种把一个事物从一个“域”变换到另一个“域”，从而从新的角度或尺度对其进行分析或表示的这种分析方法，在科学史上具有划时代意义的创造，正是傅立叶提出来的。但是，人们也早就发现，像傅立叶变换之类的变换或分析工具，只能用来处理确定性的平稳信号，对于突变的非平稳信号则不能完成满意的分析;而且傅立叶分析得出的是信号的整体频谱，却不能获得信号的局部特性。因此，在20世纪80年代出现了加窗傅立叶变换。加窗傅立叶变换是一种局域化的时-频分析方法，即将传统的傅立叶变换的时域（或空域）至频域的映射分析用加窗的方式结合起来，对局部的时间段（或空间间隔）进行频域分析，加窗傅立叶变换部分地解决了短时信号的分析问题。但它存在许多本质上的缺陷，如对短时高频信号，固然可以用缩小窗口宽度和采样间隔的办法适应频率的提高，但窗口太窄会降低频率分辨率，而且对低频分量也不适应。因此，这就导致人们对新的变换（分析）方法的探求。小波（Wavelet）分析就是在这一背景下出现并很快得到应用和发展的。
现在简单介绍小波分析的概念。
设给定连续信号f（t）。考虑到实际信号的分辨率总是有限的，从而可以将f（t）表示为以下阶梯函数
式中n为整数，表示采样点，Cn0=f（n）为样本值，而
为其基函数或尺度函数。这时，若将采样间隔加倍，则样点数减半，而信号表示为
这样一来，信号的数据量压缩了一半。这就是所谓二分法。考察二分前后两个信号的偏差
就是一个小波函数.
有人解释，“小波”就是小的波形。而“小”指它具有衰减性，“波”则是指波动性，即其振幅呈正负相同的振荡形式。
小波函数ψ（t）能通过平移和伸缩生成L2（R）中的一组正交基：
{（ψ（2-kt-n），k，n为整数}
从而可以将给定信号f（t）进行分解：
通常，ψ（t）又称小波基函数。小波基函数可以有不同式，前述哈尔函数就是一种常用的基函数。当然，能够作为小波基函数的，也还是它必须能展开成一组完备正交的函数系。
小波分析的发展非常迅速。虽然最早可以追溯到1900年希尔伯特（Hilbert）的论述，和1910年哈尔提出的规范正交基，但实际的主要工作还应该是1984年法国的Morlet在分析地震波的局部性质时，因傅立叶变换难以达到要求，因而引人小波概念。以后，Grossman对Morlet的信号按一个确定函数的伸缩、平移系进行了研究，为小波分析的形成开了先河。
在诸多为小波分析作出巨大贡献的科学工作者之中，1987年Maliat发表的Mallat算法无疑对推动小波分析的发展起了非常重要的作用。自然，在小波分析的发展中，我国许多科技工作者也作出了大的贡献。
和前述其它分析变换一样，小波变换也有连续和离散两种形式。但由于小波函数通常都是短形脉冲波，因而离散处理相对比较容易，从而有时人们忽略了其差别。
小波变换除了适应于处理突变（或时变）的非平稳信号外，还具有一个非常有用的特性，即多分辨率特性。所谓多分辨率即在小波分析中，由于所采用的尺度函数不同，可以很容易地得到不同分辨率的结果。这在图像信号的处理中已得到实际的应用。
小波分析发展到现在，已经取得许多成熟的成果，包括一批通用的算法、软件以及固化的器件。例如AD公司推出的ADV611芯片，作为视频图像的编/解码和压缩，内含小波滤波器，可以达到7500：1的压缩比，图像质量良好。在仪器和测量的应用中，也有许多成果，如有人把它用在X-射线谱信号的分析中，经过小波变换处理的谱线信号，质量得到大幅度的提高。可以预计，这种技术还将进一步发展，得到更广泛的应用。
结束语
以上本文简单介绍了当前常见的信号处理特别是数字信号处理技术。但是，它们基本上都只适于对确定性信号进行处理。在信号处理技术中还有一大类，称为随机信号处理或统计信号处理。这一类处理技术最广泛地用于和噪声及信号污操作斗争，也有人称为信号估计或信号复原，最具代表性的两种技术就是维纳（Weiner）滤波和卡尔曼（Kalmark）滤波.前者又称为最小二乘方滤波，后者从自噪声中恢复信号十分有效。其实它们都是很早就已经提出，但只是在现代计算机和数字技术的发展下，才得到真正实际的应用。因此我们最后简单地提及，作为本文的结束。
