史密斯圆图的一种球面表示法（一）
在哥伦比亚（Christopher Columbus）航行前，所有人都认为地球是平的… 。在过去的许多年中，我将传统的史密斯圆图进行扩展来帮助我理解射频领域中像振荡器设计以及放大器的稳定性这类涉及到负阻抗器件的问题。其概念使得我对于与阻抗有关问题的本质有了更深的理解，并且也证明了这是一个很有用的附加的设计辅助工具。最近，在餐桌上与其他工程师讨论时，我提到了自己的一些想法。这些想法得到了大家的认可，从那时起，他们多次说服我将自己对史密斯圆图的扩展发表出来。为此，在这篇文章中，我试图用最简单的方法来解释基于众所周知的史密斯圆图基础上的概念性辅助设计工具背后的思想。
史密斯圆图的最大优点在于它实际上是一个“图形计算器”。可以通过在史密斯图上画线来获得阻抗匹配的结果，而无需进行冗长的数学计算。所有工程师都可以使用这个工具，并且能帮助他们开发对可 选择的匹配网络的 直觉认识。确实，当一个工程师对史密斯圆图开始理解，并且在他的脑海中有一个史密斯圆图时，便有可能预先将潜在的匹配方案直观化。
本文所讨论的史密斯圆图的扩展是将平面二维（2-D）的圆图（例如一片纸或计算机屏幕）移到一个球面的三维圆图（3-D ）上。这种形式的史密斯圆图可以很方便地来处理整个阻抗区域。当然，这个新的3-D 史密斯圆图也可以通过使用合适的坐标变换和三维坐标体系而用数学式子表达出来；然而，这个工作超出了本文的范围。
已经存在一些所谓的3-D 史密斯圆图。但这些图基本上是标准的二维史密斯圆图，只是将轮廓上的数据转换到一定高度的第三维上。据作者所知，本文所做的工作才是第一个真正的三维史密斯圆图。该三维圆图的实现是在使用了一个球体和球型坐标体系的基础上完成的。
本文假设读者对史密斯圆图已经有了基本的了解。我们不打算在这里补习有关史密斯圆图的知识。有许多关于传输线理论和射频匹配的书籍可供读者参考。例如，参考文献[1]，[2]。本文刻意地保持描述的简单性，避免使用令人恐惧的数学表达式。
史密斯圆图的起源
史密斯圆图是由Philip H.Smith 提出和开发的。文献[3]介绍了Philip H.Smith 的生平。史密斯曾经在新泽西州的贝尔电话实验室工作。在他作为传输线工程师为实验室工作期间，史密斯发表了2 篇有关他所做工作的重要文章[4]，[5]。图1 便是众所周知的史密斯圆图。
图1、传统的归一化的史密斯阻抗圆图（图形由RF Café2002 提供）
最早的史密斯圆图是作为纸上计算的辅助工具的。可以购买到已经预先印刷好的圆图卡片。设计工程师们随后便可以通过使用铅笔，尺子和圆规来完成阻抗匹配的工作。近来，射频设计工作几乎完全是在使用计算机的基础上进行的。精密的计算机辅助（CAD）工具可以解决难度更大的问题并且减少了设计时间。然而，广泛使用的CAD 并没有减少史密斯圆图的使用率。设计软件可以将结果在史密斯圆图上显示出来。类似地，现代网络分析仪也可以将测量结果以图形形式显示在史密斯圆图上。
局限性
史密斯圆图的使用有许多吸引人的特点。这些特点包括简洁和易于使用，这是因为它将数字问题转化为图形问题，并且所有实部为正数的阻抗都可以在一个图上或一片纸上显示出来。但是传统的史密斯圆图有一个很大的局限。即涉及到负实部半边的阻抗域的处理。在将正的电阻域部分映射到清晰的圆周时（史密斯圆图的本质）所涉及的坐标变换过程中，负实数部分被扩展了。这便使得在画出具有负实数阻抗时就会有问题了。此外，-50Ω 点在半径为无穷大的圆周上。在史密斯圆图上表示负阻抗时会很尴尬。例如，在射频放大器设计和稳定化过程中需要观察稳定性圆周时。相对于史密斯圆图的尺寸来说，这些稳定性圆周的圆心和半径很容易使得圆周变得特别大。图2 就是这样一个例子。计算机设计软件可以自动调节圆图的坐标轴，可以将实数阻抗尺寸减到只有几个像素那么大。另一种方法是将稳定性圆周的圆心和圆周画在史密斯圆图的可视区域之外。
图2、一个大的稳定性圆周的例子
涉及到负电阻的另一个射频/微波设计领域是振荡器和微波有源滤波器的设计。在振荡器设计中，通过使用某种串联或并联反馈而有意识地使得有源器件处于不稳定状态。由此所产生的负电阻与谐振电路相连接。在有源滤波器的设计中，产生负电阻的目的是为了试图补偿L 和C 元件的寄生电阻的损耗。在这两种情况下，用图形法来理解阻抗变换或负载是如何影响负阻抗已被证明是很有用的。
我发现在涉及到负电阻时，用一个三维球面而不是二维圆周的方式来表示史密斯圆图时，可以更好地洞察匹配问题的实质。在下一节中，我将要讨论一种把阻抗域的负实数部半边结合进入扩展的史密斯圆图的有效方法。
需要注意的是，本文中使用的都是50Ω 史密斯阻抗圆图。虽然本文在此没有进行展示，但也可以生成球面形的史密斯导纳圆图甚至球面形的并且适合于任意阻抗的混合阻抗/导纳圆图。
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